线性代数闪电战

行列式的概念及简单计算

行列式计算网站：https://matrix.reshish.com/zh/determinant.php

两行两列就是二阶行列式，以此类推还有n行n列式：$\begin{vmatrix}1 & 2\\2 & 3\end{vmatrix}$，这里的行用r表示，列用c表示。

这些行列式经过一系列计算最后得到一个数字。对于如上的二阶行列式，计算方式就是：左斜对角线乘积-右斜对角线乘积。

则以1*3 - 2*2，结果为-1

三阶、四节等多节行列数，需要将左斜对角线下方的数字全部变成0，再将做斜对角线所有数字相乘即可。如下3个都是计算行列式的方法：

1. 某行（列）加上或减去另一行（列）的几倍，行列式不变。根据这一定义，逐个将左斜对角线。这里最后的变形是：$\begin{vmatrix}1 &2 & 3\\0 &-1 & -2 \\0 &0 & 1\end{vmatrix}$

解题思路就是：第一行的作用是使后面行的首位变成0，第二行的作用是使后面行的第二位变为0，以此类推。

还有其他几条定义同样可以更快速地求出这个行列式的值。

2. 某行（列）乘 k ，等于 k 乘此行列式。

例如 $\begin{vmatrix} 1&2 &3 &4 \\ 2&3 &4 &5 \\ 4& 5&7 &8 \\ 8& 9 &10 &12\end{vmatrix} =1$，将 r1 乘以 2 ，得到：$\begin{vmatrix} 2&4 &6 &8 \\ 2&3 &4 &5 \\ 4& 5&7 &8 \\ 8& 9 &10 &12\end{vmatrix}$

所以 r1 x 2 后新行列式的值为原值 x 2，

即：$\begin{vmatrix} 2&4 &6 &8 \\ 2&3 &4 &5 \\ 4& 5&7 &8 \\ 8& 9 &10 &12\end{vmatrix}=$ 2*(-1)=-2

这是单行乘以 k 后的计算方法，如果存在多行是原式的倍数，则新值为：所有倍数与原值相乘

3. 互换两行(列)，行列式变号

例如 $\begin{vmatrix} 1&2 &3 &4 \\ 2&3 &4 &5 \\ 4& 5&7 &8 \\ 8& 9 &10 &12\end{vmatrix} =-1$

将 r1 和 r2互换得到：$\begin{vmatrix} 2&3 &4 &5 \\ 1&2 &3 &4 \\ 4& 5&7 &8 \\ 8& 9 &10 &12\end{vmatrix}$

所以 r1 和 r2互换后新行列式的值为原值 x -1，即： $-1 * (-1)=1$。如果需要互换多次，则每次的新结果都是原值 x -1，也就是每次互换都将乘以 -1。

行列式运算过程可能产生较多的草稿，如果需要在纸面上简单地写明计算步骤，如下图：

行列式的计算及应用

1. n 行 n 列的行列式，$\begin{vmatrix} x& a& a& \\ a& x& a& \\ a& a& x& \end{vmatrix}=(x-a)^{n-1}[x+(n-1)a]$

例如在 $\begin{vmatrix} 2& 3& 3& 3\\ 3& 2& 3& 3\\ 3& 3& 2& 3\\ 3& 3& 3& 2\end{vmatrix}$ 中，$x=2, a=3,n=4$。结果为：$\begin{vmatrix} 2& 3& 3& 3\\ 3& 2& 3& 3\\ 3& 3& 2& 3\\ 3& 3& 3& 2\end{vmatrix} =(2-3^{4-1}[2+(4-1)*3])=-11$

2. 范德蒙行列式，即：$\begin{vmatrix} 1& 1& ...& 1\\ x_1& x_2& ...& x_n\\ {x_{1}}^{2}& {x_{2}}^{2}& ...& {x_{n}}^{2}\\ ...& ...& ...& ...\\ {x_{1}}^{n-1}& {x_{2}}^{n-1}& ...&{x_{n}}^{n-1}\end{vmatrix}$

   $=(x_n - x_{n-1})(x_n - x_{n-2})(x_n - x_{n-3})....(x_n-x_1)$

   x $(x_{n-1} - x_{n-2})(x_{n-1} - x_{n-3})...(x_{n-1} - x_1)$

   x …

   x $ (x_2 - x_1)$

这种特殊行列式的规律是，r1 全部为 1 ，剩下部分指数以此增加。如c1中，从第二行开始是1次方，2次方、3次方……直到x1的n-1

在等号这行，都是 $x_{n}$减去一个数，且该数规律性减少：$x_{n-1}, x_{n-2}, x_{n-3}$，直到$x_{1}$

第二行中，都是 $x_{n-1}$减去一个数,被减数总是比减数小1，且同样规律性减少：$x_{n-2}, x_{n-3}$。直到$x_{1}$

如此逐次计算，直到$x_{2}-x_{1}$

举例说明：$\begin{vmatrix} 1& 1& 1& 1\\ 3& 4& 5& 6\\ 3^2& 4^2& 5^2& 6^2\\ 3^3& 4^3& 5^3& 6^3\end{vmatrix}$符合公式观察得出：

$x_{1}=3, x_{2}=4,x_{3}=5,x_{4}=6,n=4$

则$(6-5)(6-4)(6-3)(5-4)(5-3)(4-3)=12$

例子二：运算过程如下（计算结果是有点问题的，但思路是对的）

3. 行列式运算定义

• 两行(列)相同或成比例时，行列式结果为0
• 某行(列)为两项相加减时，行列式可拆成两个行列式相加减。

例如：$\begin{vmatrix} 1& 2& 3& 4\\ 2& 4& 6& 8\\ 3& 4& 5& 6\\ 7& 8& 9& 10\end{vmatrix}$中r1 和r2 成倍数，则该行列式结果为0.

第二个性质例如：$\begin{vmatrix} 1& 2+a& 3& 4\\ 2& 4+b& 6& 8\\ 3& 4+c& 5& 6\\ 7& 8+d& 9& 10\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1& 2& 3& 4\\ 2& 4& 6& 8\\ 3& 4& 5& 6\\ 7& 8& 9& 10\end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 1& a& 3& b\\ 2& c& 6& d\\ 3& 4& 5& 6\\ 7& 8& 9& 10\end{vmatrix}$，注意，单行(列)存在相加减时，分为2个行列式，如果有多行(列)相加减，那么需要分别分开成2个行列式。

4. 求余子式和代数余子式

例如：求$\begin{vmatrix} 1& 2& 3\\ 5& 6& 7\\ 9& 10& 11\end{vmatrix}$中 $a_{23}$的余子式。

余子式用M表示。

a是行列式中的某个数字，23指的是行数与列数，所以a23指的是2行3列的7。

a23的余子式也就是要求M23，即将 r2 、c3删除，计算剩下的式子即可。

代数余子数用A表示，值为余子数 x -1 的行+列次方，即：$A_{23}=(-1)^{2+3}*M_{23}$

5. 拉普拉斯展开（行列式展开定理），选择任意行(列)带入如下对应式子进行计算。

   • $D=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+.....+a_{in}A_{in}$ (第i行)

   • $D=a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+......+a_{nj}A_{nj}$ (第j列)

例如：$\begin{vmatrix} 1& 2& 3\\ 5& 6& 7\\ 9& 10& 11\end{vmatrix}$ 取第一行，则 i为 1，得出：

$\begin{vmatrix} 1& 2& 3\\ 5& 6& 7\\ 9& 10& 11\end{vmatrix}=a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+a_{13}A_{13}$。a11、a12、a13代表行列所在数字，A11代表代数余子数，$A_{11}=(-1)^{1+1}M_{11}$

则：$a_{11}(-1)^{1+1}M_{11} + a_{12}(-1)^{1+2}M_{12} + a_{13}(-1)^{1+3}M_{13}$

得到：$1*(-1)^{1+1}* \begin{vmatrix} 6&7 \\ 10&11\end{vmatrix} + 2*(-1)^{1+2}* \begin{vmatrix} 5&7 \\ 9&11\end{vmatrix} + 3*(-1)^{1+3}* \begin{vmatrix} 5&6 \\ 9&10\end{vmatrix}$

最后计算上述式子，就是行列式的值。（TODO）

通常用该方法计算出来的步骤很繁杂，但部分题目套进去会比较简单。如果行列式某一行(列)的0比较多，那通过这种办法能减少很多时间。

6. 多个 A 或 M 相加减（零值定理）

已知$D=\begin{vmatrix} 1& 2& 3&4 \\ 5& 6& 7&8 \\ 9& 10& 11&12 \\ 13& 14& 15&16\end{vmatrix}$，求：

1：$3A_{11}+4A_{12}+5A_{13}+6A_{14}$，在原式找到$A_{11}$等位置，然后将前面的系数替换进去，计算新式子的结果：$\begin{vmatrix} 3& 4& 5&6 \\ 5& 6& 7&8 \\ 9& 10& 11&12 \\ 13& 14& 15&16\end{vmatrix}$

2：$3A_{11}+4A_{21}+5A_{31}+6A_{41}$，在原式找到$A_{11}$等位置，然后将前面的系数替换进去，计算新式子的结果：$\begin{vmatrix} 3& 2& 3&4 \\ 4& 6& 7&8 \\ 5& 10& 11&12 \\ 6& 14& 15&16\end{vmatrix}$

3：$3M_{11}+4M_{12}+5M_{13}+6M_{14}$，需要先将M替换成A，已知$A_{rc}=(-1)^{r+c}M_{rc}$，则该式子转换为：

$3(-1)^{1+1}M_{11} + 4(-1)^{2+1}M_{11} + 5(-1)^{3+1}M_{31} + 6(-1)^{4+1}M_{41}$

得出：$3A_{11}-4A_{21}+5A_{31}-6A_{41}$，到这一步就跟上2种一样，将系数替换进原式，，计算该新式子的结果：$\begin{vmatrix} 3& 2& 3&4 \\ -4& 6& 7&8 \\ 5& 10& 11&12 \\ -6& 14& 15&16\end{vmatrix}$

7. 判断方程组的解的情况

可根据计算参考该表格获取解的情况。

方程组	D != 0	D = 0
齐次	只有一组零解	有零解与非零解
非齐次	只有一组非零解	有多个解或无解

判断该方程组是否有唯一解：$\left\{\begin{matrix} x_{1} \text{+} 2x_{2} \text{+} 3x_{3}=0 \\ 4x_{1} \text{+} 5x_{2} \text{+} 6x_{3}=0 \\ 7x_{1} \text{+} 8x_{2} \text{+} 9x_{3}=0 \\\end{matrix}\right.$

表格解释：齐次指方程组只有x与0，没有常数项。非齐次除了x与0还有常数项。（TODO：没有明白）

D!=0和D=0的依据是，将方程组的系数取出，形成一个新的行列式，计算该行列式的值。注意，如果有的题目没有完整的等长等宽方程组，例如：$\left\{\begin{matrix} x_{1} \text{+} 3x_{3}=0 \\ x_{2} \text{+} 4x_{3}=0 \\ x_{1} \text{+} 5x_{3}=0 \\\end{matrix}\right.$ ，就需要手动补0，即：$\left\{\begin{matrix} x_{1} \text{+} 0x_{2} \text{+} 3x_{3}=0 \\ 0x_{1} \text{+} x_{2} \text{+} 4x_{3}=0 \\ x_{1} \text{+} 5x_{2} \text{+} 0x_{3}=0 \\\end{matrix}\right.$，形成的行列式为：$\begin{vmatrix} 1& 0& 3\\ 0& 1& 4\\ 1& 5& 0\end{vmatrix}$

例如上述例题，是一个齐次方程，将其系数提取形成行列式，得到$\begin{vmatrix} 1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{vmatrix}$，值为 0，即有零解与非零解，就是没有唯一解。

例题2：

方程组：$\left\{\begin{matrix} x_{1} \text{+} yx_{2} \text{+} 3x_{3}=0 \\ 4x_{1} \text{+} 5x_{2} \text{+} 6x_{3}=0 \\ 7x_{1} \text{+} 8x_{2} \text{+} 9x_{3}=0 \\\end{matrix}\right.$ 有非零解，请确定 y的值。

解答：观察方程式，为齐次方程组。且有非零解，那么D=0,则：$\begin{vmatrix} 1& y& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{vmatrix}=0$，即可求出$y=2$

矩阵计算

矩阵相加减

已知$A=\begin{pmatrix} 1& 3\\ 2& 4\\ 5& 6\end{pmatrix},B=\begin{pmatrix} 7& 8\\ 9& 10\\ 11& 12\end{pmatrix}$,求 $2A+3B$

矩阵与系数相乘时，将系数与矩阵的每个数字相乘，即：

$2A=\begin{pmatrix} 1*2& 3*2\\ 2*2& 4*2\\ 5*2& 6*2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2& 6\\ 4& 8\\ 10& 12\end{pmatrix}$

$3B=\begin{pmatrix} 7*3& 8*3\\ 9*3& 10*3\\ 11*3& 12*3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 21& 24\\ 27& 30\\ 33& 36\end{pmatrix}$

矩阵与矩阵相加时，将两个矩阵内每个数字相加，即 $2A+3B=$：

$\begin{pmatrix} 2+21& 6+24\\ 4+27& 8+30\\ 10+33& 12+36\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 31& 30\\ 31& 38\\ 43& 48\end{pmatrix}$

矩阵相乘

核心：前行乘后列

1. 简单相乘

已知$A=\begin{pmatrix} 1& 3\\ 2& 4\\ 5& 6\end{pmatrix},B=\begin{pmatrix} 7& 8 & 9\\ 10 & 11& 12\end{pmatrix}$,求 $A *B$：

$A * B =\begin{pmatrix} 1& 3\\ 2& 4\\ 5& 6\end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 7& 8 & 9\\ 10 & 11& 12\end{pmatrix}$，该矩阵相乘结果的矩阵行列数，取决与A与B的行列数，结果矩阵为 A 的行数，B 的列数其中，矩阵的r11为$A_{11}* B_{11}+A_{12}*B_{21}$，r12为$A_{11}* B_{12}+A_{12}*B_{22}$……以此类推。即如下，计算后就是答案了。

$$=\begin{pmatrix} 1*7+3*10& 1*8+3*11 & 1*9+3*12\\ 2*7+4*10& 2*8+4*11 & 2*9+4*12\\ 5*7+6*10& 5*8+6*11 & 5*9+6*12\end{pmatrix}$$

2. 化简后相乘

已知$A=\begin{pmatrix} 1& 0 &1\\ 0& 2 & 0\\ 1& 0 & 1\end{pmatrix},B=\begin{pmatrix} 1& 2 & 3\\ 4 & 5& 6\\ 7& 8 &9 \end{pmatrix}$,求 $A^{2}B-2AB$：

$A^{2}B-2AB$可将B提取，化简为$(A^{2}-2A)*B$，得到：（图片P3-5:28）

矩阵相乘的一些注意事项

• $A=\begin{pmatrix} 0& 0 &0\\ 0& 0 & 0\\ 0& 0 & 0\end{pmatrix}=0$ 任何矩阵与零矩阵相乘都会成为零矩阵

• $\begin{pmatrix} 1& 0 &0\\ 0& 1 & 0\\ 0& 0 & 1\end{pmatrix}=E$ 除了对角线全是1，其他都是 0（不论多少阶）。E矩阵的行列数取决于与它运算的式子的行列，它随所运算的式子的行列数而更改，并不是固定的一个行列数。任何矩阵与E相乘都不变，E自己相乘结果也是E。即$A*E=A$，$E * A =A$，$E^{2}=E * E =E$。

• 矩阵相乘有顺序，先后不能颠倒，AB与BA不一定相等。在化简时同样，$A^{2}B-2AB=(A^{2}-2AB)*B$是允许的，因为化简后B在后面。但$A^{2}B-2AB=B*(A^{2}-2AB)$则是不允许的。

• 矩阵中没有出发，无法根据$AX=AY$就推测出$X=Y$

• $(AB)^{k}$与$A^{k}B^{k}$不一定相等，无法展开。

• $A^{2}+(k+j)AB+kjB^{2}$与$(A+kB)(A+jB)$不一定相等，无法展开（A 或 B有一项是E矩阵除外）。

3. 计算矩阵对应行列式

已知$A=\begin{pmatrix} 2& 4 &6\\ 4& 6 & 8\\ 8& 10 & 14\end{pmatrix}$，求$\left | A \right | $。将该矩阵的括号换成行列式的竖线，计算行列式取值即可。

公式：$\left | \lambda A \right |=\lambda^{n}\left | \lambda A \right |$。如上矩阵，所有数字都是 2 的倍数，即可将 2 提出，

变为：$A=2\begin{pmatrix} 1& 2 &3\\ 2& 3 & 4\\ 4& 5 & 7\end{pmatrix}$，即$\left | A \right | =2^{n}\begin{vmatrix} 1& 2& 3\\ 2& 3& 4\\ 4& 5& 7\end{vmatrix}$

4. 矩阵转置

已知$A=\begin{pmatrix} 1 & 0 &1\end{pmatrix}$，求$A^{T}AA^{T}$。

补充说明：矩阵 A 右上角加上 T 后，就代表转置了。它的行变成列，列变成行，即$A^{T}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\1 \end{pmatrix}$

所以 $A^{T}AA^{T}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\1 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 1 & 0 &1\end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1& 0 &1\\ 0& 0 &0 \\ 1& 0 & 1\end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\2 \end{pmatrix}$

从上面看，从左到右相乘时，会展开一个3*3的矩阵，计算起来比较麻烦。可以先用后面的单行乘以单列，计算结果为单行同样为单行单列。而单行单列的矩阵，括号就可以去掉，矩阵内数字相加，变成一个系数。再用前面的矩阵与该系数相乘，达到简化计算的效果，如下：

$A^{T}AA^{T}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\1 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 1 & 0 &1\end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\1 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 1 & 0 &1\end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\1 \end{pmatrix}=(1+0+1)=(2)=2$

$A^{T}AA^{T}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\1 \end{pmatrix}*2=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\2 \end{pmatrix}$

其他公式:

• $(AB)^{T}=B^{T}A^{T}$：两个矩阵相乘后再转置的结果，等于第二个矩阵的转置乘以第一个矩阵的转置
• $\left | A^{T} \right | =\left | A \right |$： 一个矩阵转置的绝对值等于这个矩阵的绝对值。（绝对值指的是行列式）

5. 证明矩阵可逆

可逆条件：

1. 该矩阵为方阵，即行列数相等。
2. $\left | A \right | \ne 0$ 或者存在一个矩阵B，满足$AB=E$或者$BA=E$

方阵和计算矩阵的行列式比较简单，寻找矩阵B相对复杂，这里不做阐述。

6. 求逆矩阵

计算方式：将矩阵$(A\vdots E)$进行1.换行; 2.某行乘一个数; 3. 一行加上或减去另一行乘数字 变成$(E\vdots A^{-1})$

已知$A=\begin{pmatrix} 1 &2 &3 \\ 2 &3 &4 \\ 4 &5 &7\end{pmatrix}$，求$A^{-1}$

解答：需要在矩阵右边添加一个 单位矩阵E，经过一系列计算变换，将前半部分矩阵变成 E，并获取后半部分矩阵。

通过与 r1 、r2计算，使对角线左下方数字变为0；再通过与 r2 、r3计算，使对角线右上方数字变为0.

使得矩阵 $\left(\begin{array}{lll|lll}1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\2 & 3 & 4 & 0 & 1 & 0 \\4 & 5 & 7 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ 变换成 $\left(\begin{array}{lll|lll}1 & 0& 0 & -1 & -1 & 1 \\0 & 1 & 0 & -2 & 5 & -2 \\0 & 0 & 1 & 2 & -3 & 1\end{array}\right)$，后半部分的矩阵就是$A^{-1}$

注意：

• 对角线数字必须为1，否则无法计算后续。
• 只能先将左下角数字变换为0，再将右上角数字变换为0，顺序不能乱。
• 计算需严谨，一步错步步错

7. 利用$A*A^{-1}=E$ 或 $A^{-1}*A=E$ 计算

证明题：已知$A=\begin{pmatrix} 1 &2 &3 \\ 2 &3 &4 \\ 4 &5 &7\end{pmatrix}$、$B=\begin{pmatrix} 1 &2 \\ 2 &1 \end{pmatrix}$、$C=\begin{pmatrix} 1 &4 \\ 2 &5 \\ 3 &6 \end{pmatrix}$，求矩阵 X 使其满足$AXB=C$

$A$

解：

在等号两边同时乘以$A^{-1}$，则$A^{-1}AXB=A^{-1}C$，由于 $A^{-1}*A=E$ ，所以$EXB=A^{-1}C$

由于$E$乘以任何矩阵都等于矩阵本身，所以这里的$E$可以消除：$XB=A^{-1}C$

在等号两边同时乘以$B^{-1}$，则：$XBB^{-1}=A^{-1}CB^{-1}$

由于$A*A^{-1}=E$ ，同理$BB^{-1}$可用$E$来替代。即：$XE=A^{-1}CB^{-1}$

由于$E$乘以任何矩阵都等于矩阵本身，所以这里的$E$可以消除：$X=A^{-1}CB^{-1}$

8. 利用A·A*=|A|E 或 A*·A=|A|E计算

A*代表A的伴随矩阵

如果出现了A*，将公式套入即可

9. 求矩阵的秩

已知$\begin{pmatrix} 1 & 2& 3&4 \\ 2 & 4& 6&8 \\ 4 & 5& 6&7 \\ 1 & 2& 6&9\end{pmatrix}$，求$R(A)$

先对矩阵进行行变换，使下行左端的 0 比上航多，知道下面行全为 0 为止。

注意：

• 必要条件：下一行左边的 0 必须比上一行多，相同多是不对的。
• 如果倒数2行都为0，那么也是允许的。（即时 0 的数量相同）
• 最后一行不全为 0 也没问题，只要保证必要条件即可

矩阵变换完成后，找出有几行是有非 0 数的，例如变换结果$\begin{pmatrix} 1 & 2& 3&4 \\ 2 & 4& 6&8 \\ 4 & 5& 6&7 \\ 0 & 0& 0&0\end{pmatrix}$有三行有非 0 数，那么$R(A)=3$

10. 已知矩阵的秩，求矩阵里的未知数

略