线性代数闪电战

行列式的概念及简单计算

行列式计算网站:https://matrix.reshish.com/zh/determinant.php

两行两列就是二阶行列式,以此类推还有n行n列式:1223\begin{vmatrix}1 & 2\\2 & 3\end{vmatrix},这里的行用r表示,列用c表示。

这些行列式经过一系列计算最后得到一个数字。对于如上的二阶行列式,计算方式就是:左斜对角线乘积-右斜对角线乘积。

则以1*3 - 2*2,结果为-1

三阶、四节等多节行列数,需要将左斜对角线下方的数字全部变成0,再将做斜对角线所有数字相乘即可。如下3个都是计算行列式的方法:

  1. 某行(列)加上或减去另一行(列)的几倍,行列式不变。根据这一定义,逐个将左斜对角线。这里最后的变形是:123012001\begin{vmatrix}1 &2 & 3\\0 &-1 & -2 \\0 &0 & 1\end{vmatrix}

解题思路就是:第一行的作用是使后面行的首位变成0,第二行的作用是使后面行的第二位变为0,以此类推。

还有其他几条定义同样可以更快速地求出这个行列式的值。

  1. 某行(列)乘 k ,等于 k 乘此行列式。

例如 123423454578891012=1\begin{vmatrix} 1&2 &3 &4 \\ 2&3 &4 &5 \\ 4& 5&7 &8 \\ 8& 9 &10 &12\end{vmatrix} =1,将 r1 乘以 2 ,得到:246823454578891012\begin{vmatrix} 2&4 &6 &8 \\ 2&3 &4 &5 \\ 4& 5&7 &8 \\ 8& 9 &10 &12\end{vmatrix}

所以 r1 x 2 后新行列式的值为原值 x 2,

即:246823454578891012=\begin{vmatrix} 2&4 &6 &8 \\ 2&3 &4 &5 \\ 4& 5&7 &8 \\ 8& 9 &10 &12\end{vmatrix}= 2*(-1)=-2

这是单行乘以 k 后的计算方法,如果存在多行是原式的倍数,则新值为:所有倍数与原值相乘

  1. 互换两行(列),行列式变号

例如 123423454578891012=1\begin{vmatrix} 1&2 &3 &4 \\ 2&3 &4 &5 \\ 4& 5&7 &8 \\ 8& 9 &10 &12\end{vmatrix} =-1

将 r1 和 r2互换得到:234512344578891012\begin{vmatrix} 2&3 &4 &5 \\ 1&2 &3 &4 \\ 4& 5&7 &8 \\ 8& 9 &10 &12\end{vmatrix}

所以 r1 和 r2互换后新行列式的值为原值 x -1,即: 1(1)=1-1 * (-1)=1。如果需要互换多次,则每次的新结果都是原值 x -1,也就是每次互换都将乘以 -1。

行列式运算过程可能产生较多的草稿,如果需要在纸面上简单地写明计算步骤,如下图:

行列式的计算及应用

  1. n 行 n 列的行列式xaaaxaaax=(xa)n1[x+(n1)a]\begin{vmatrix} x& a& a& \\ a& x& a& \\ a& a& x& \end{vmatrix}=(x-a)^{n-1}[x+(n-1)a]

例如在 2333323333233332\begin{vmatrix} 2& 3& 3& 3\\ 3& 2& 3& 3\\ 3& 3& 2& 3\\ 3& 3& 3& 2\end{vmatrix} 中,x=2,a=3,n=4x=2, a=3,n=4。结果为:2333323333233332=(2341[2+(41)3])=11\begin{vmatrix} 2& 3& 3& 3\\ 3& 2& 3& 3\\ 3& 3& 2& 3\\ 3& 3& 3& 2\end{vmatrix} =(2-3^{4-1}[2+(4-1)*3])=-11

  1. 范德蒙行列式,即:11...1x1x2...xnx12x22...xn2............x1n1x2n1...xnn1\begin{vmatrix} 1& 1& ...& 1\\ x_1& x_2& ...& x_n\\ {x_{1}}^{2}& {x_{2}}^{2}& ...& {x_{n}}^{2}\\ ...& ...& ...& ...\\ {x_{1}}^{n-1}& {x_{2}}^{n-1}& ...&{x_{n}}^{n-1}\end{vmatrix}

    =(xnxn1)(xnxn2)(xnxn3)....(xnx1)=(x_n - x_{n-1})(x_n - x_{n-2})(x_n - x_{n-3})....(x_n-x_1)

    x (xn1xn2)(xn1xn3)...(xn1x1)(x_{n-1} - x_{n-2})(x_{n-1} - x_{n-3})...(x_{n-1} - x_1)

    x …

    x $ (x_2 - x_1)$

这种特殊行列式的规律是,r1 全部为 1 ,剩下部分指数以此增加。如c1中,从第二行开始是1次方,2次方、3次方……直到x1的n-1

在等号这行,都是 xnx_{n}减去一个数,且该数规律性减少:xn1,xn2,xn3x_{n-1}, x_{n-2}, x_{n-3},直到x1x_{1}

第二行中,都是 xn1x_{n-1}减去一个数,被减数总是比减数小1,且同样规律性减少:xn2,xn3x_{n-2}, x_{n-3}。直到x1x_{1}

如此逐次计算,直到x2x1x_{2}-x_{1}

举例说明:111134563242526233435363\begin{vmatrix} 1& 1& 1& 1\\ 3& 4& 5& 6\\ 3^2& 4^2& 5^2& 6^2\\ 3^3& 4^3& 5^3& 6^3\end{vmatrix}符合公式观察得出:

x1=3,x2=4,x3=5,x4=6,n=4x_{1}=3, x_{2}=4,x_{3}=5,x_{4}=6,n=4

(65)(64)(63)(54)(53)(43)=12(6-5)(6-4)(6-3)(5-4)(5-3)(4-3)=12

例子二:运算过程如下(计算结果是有点问题的,但思路是对的)

  1. 行列式运算定义
  • 两行(列)相同或成比例时,行列式结果为0
  • 某行(列)为两项相加减时,行列式可拆成两个行列式相加减。

例如:12342468345678910\begin{vmatrix} 1& 2& 3& 4\\ 2& 4& 6& 8\\ 3& 4& 5& 6\\ 7& 8& 9& 10\end{vmatrix}中r1 和r2 成倍数,则该行列式结果为0.

第二个性质例如:12+a3424+b6834+c5678+d910=12342468345678910+1a3b2c6d345678910\begin{vmatrix} 1& 2+a& 3& 4\\ 2& 4+b& 6& 8\\ 3& 4+c& 5& 6\\ 7& 8+d& 9& 10\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1& 2& 3& 4\\ 2& 4& 6& 8\\ 3& 4& 5& 6\\ 7& 8& 9& 10\end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 1& a& 3& b\\ 2& c& 6& d\\ 3& 4& 5& 6\\ 7& 8& 9& 10\end{vmatrix},注意,单行(列)存在相加减时,分为2个行列式,如果有多行(列)相加减,那么需要分别分开成2个行列式。

  1. 求余子式和代数余子式

例如:求12356791011\begin{vmatrix} 1& 2& 3\\ 5& 6& 7\\ 9& 10& 11\end{vmatrix}a23a_{23}的余子式。

余子式用M表示。

a是行列式中的某个数字,23指的是行数与列数,所以a23指的是23列的7

a23的余子式也就是要求M23,即将 r2 、c3删除,计算剩下的式子即可。

代数余子数用A表示,值为余子数 x -1 的行+列次方,即:A23=(1)2+3M23A_{23}=(-1)^{2+3}*M_{23}

  1. 拉普拉斯展开(行列式展开定理),选择任意行(列)带入如下对应式子进行计算。

    • D=ai1Ai1+ai2Ai2+.....+ainAinD=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+.....+a_{in}A_{in} (第i行)

    • D=a1jA1j+a2jA2j+......+anjAnjD=a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+......+a_{nj}A_{nj} (第j列)

例如:12356791011\begin{vmatrix} 1& 2& 3\\ 5& 6& 7\\ 9& 10& 11\end{vmatrix} 取第一行,则 i为 1,得出:

12356791011=a11A11+a12A12+a13A13\begin{vmatrix} 1& 2& 3\\ 5& 6& 7\\ 9& 10& 11\end{vmatrix}=a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+a_{13}A_{13}a11a12a13代表行列所在数字,A11代表代数余子数,A11=(1)1+1M11A_{11}=(-1)^{1+1}M_{11}

则:a11(1)1+1M11+a12(1)1+2M12+a13(1)1+3M13a_{11}(-1)^{1+1}M_{11} + a_{12}(-1)^{1+2}M_{12} + a_{13}(-1)^{1+3}M_{13}

得到:1(1)1+1671011+2(1)1+257911+3(1)1+3569101*(-1)^{1+1}* \begin{vmatrix} 6&7 \\ 10&11\end{vmatrix} + 2*(-1)^{1+2}* \begin{vmatrix} 5&7 \\ 9&11\end{vmatrix} + 3*(-1)^{1+3}* \begin{vmatrix} 5&6 \\ 9&10\end{vmatrix}

最后计算上述式子,就是行列式的值。(TODO)

通常用该方法计算出来的步骤很繁杂,但部分题目套进去会比较简单。如果行列式某一行(列)的0比较多,那通过这种办法能减少很多时间。

  1. 多个 A 或 M 相加减(零值定理)

已知D=12345678910111213141516D=\begin{vmatrix} 1& 2& 3&4 \\ 5& 6& 7&8 \\ 9& 10& 11&12 \\ 13& 14& 15&16\end{vmatrix},求:

1:3A11+4A12+5A13+6A143A_{11}+4A_{12}+5A_{13}+6A_{14},在原式找到A11A_{11}等位置,然后将前面的系数替换进去,计算新式子的结果:34565678910111213141516\begin{vmatrix} 3& 4& 5&6 \\ 5& 6& 7&8 \\ 9& 10& 11&12 \\ 13& 14& 15&16\end{vmatrix}

2:3A11+4A21+5A31+6A413A_{11}+4A_{21}+5A_{31}+6A_{41},在原式找到A11A_{11}等位置,然后将前面的系数替换进去,计算新式子的结果:3234467851011126141516\begin{vmatrix} 3& 2& 3&4 \\ 4& 6& 7&8 \\ 5& 10& 11&12 \\ 6& 14& 15&16\end{vmatrix}

3:3M11+4M12+5M13+6M143M_{11}+4M_{12}+5M_{13}+6M_{14},需要先将M替换成A,已知Arc=(1)r+cMrcA_{rc}=(-1)^{r+c}M_{rc},则该式子转换为:

3(1)1+1M11+4(1)2+1M11+5(1)3+1M31+6(1)4+1M413(-1)^{1+1}M_{11} + 4(-1)^{2+1}M_{11} + 5(-1)^{3+1}M_{31} + 6(-1)^{4+1}M_{41}

得出:3A114A21+5A316A413A_{11}-4A_{21}+5A_{31}-6A_{41},到这一步就跟上2种一样,将系数替换进原式,,计算该新式子的结果:3234467851011126141516\begin{vmatrix} 3& 2& 3&4 \\ -4& 6& 7&8 \\ 5& 10& 11&12 \\ -6& 14& 15&16\end{vmatrix}

  1. 判断方程组的解的情况

可根据计算参考该表格获取解的情况。

方程组 D != 0 D = 0
齐次 只有一组零解 有零解与非零解
非齐次 只有一组非零解 有多个解或无解

判断该方程组是否有唯一解:{x1+2x2+3x3=04x1+5x2+6x3=07x1+8x2+9x3=0\left\{\begin{matrix} x_{1} \text{+} 2x_{2} \text{+} 3x_{3}=0 \\ 4x_{1} \text{+} 5x_{2} \text{+} 6x_{3}=0 \\ 7x_{1} \text{+} 8x_{2} \text{+} 9x_{3}=0 \\\end{matrix}\right.

表格解释:齐次指方程组只有x0,没有常数项。非齐次除了x0还有常数项。(TODO:没有明白)

D!=0D=0的依据是,将方程组的系数取出,形成一个新的行列式,计算该行列式的值。注意,如果有的题目没有完整的等长等宽方程组,例如:{x1+3x3=0x2+4x3=0x1+5x3=0\left\{\begin{matrix} x_{1} \text{+} 3x_{3}=0 \\ x_{2} \text{+} 4x_{3}=0 \\ x_{1} \text{+} 5x_{3}=0 \\\end{matrix}\right. ,就需要手动补0,即:{x1+0x2+3x3=00x1+x2+4x3=0x1+5x2+0x3=0\left\{\begin{matrix} x_{1} \text{+} 0x_{2} \text{+} 3x_{3}=0 \\ 0x_{1} \text{+} x_{2} \text{+} 4x_{3}=0 \\ x_{1} \text{+} 5x_{2} \text{+} 0x_{3}=0 \\\end{matrix}\right.,形成的行列式为:103014150\begin{vmatrix} 1& 0& 3\\ 0& 1& 4\\ 1& 5& 0\end{vmatrix}

例如上述例题,是一个齐次方程,将其系数提取形成行列式,得到123456789\begin{vmatrix} 1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{vmatrix},值为 0,即有零解与非零解,就是没有唯一解。

例题2:

方程组:{x1+yx2+3x3=04x1+5x2+6x3=07x1+8x2+9x3=0\left\{\begin{matrix} x_{1} \text{+} yx_{2} \text{+} 3x_{3}=0 \\ 4x_{1} \text{+} 5x_{2} \text{+} 6x_{3}=0 \\ 7x_{1} \text{+} 8x_{2} \text{+} 9x_{3}=0 \\\end{matrix}\right. 有非零解,请确定 y的值。

解答:观察方程式,为齐次方程组。且有非零解,那么D=0,则:1y3456789=0\begin{vmatrix} 1& y& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{vmatrix}=0,即可求出y=2y=2

矩阵计算

矩阵相加减

已知A=(132456),B=(789101112)A=\begin{pmatrix} 1& 3\\ 2& 4\\ 5& 6\end{pmatrix},B=\begin{pmatrix} 7& 8\\ 9& 10\\ 11& 12\end{pmatrix},求 2A+3B2A+3B

矩阵与系数相乘时,将系数与矩阵的每个数字相乘,即:

2A=(123222425262)=(26481012)2A=\begin{pmatrix} 1*2& 3*2\\ 2*2& 4*2\\ 5*2& 6*2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2& 6\\ 4& 8\\ 10& 12\end{pmatrix}

3B=(738393103113123)=(212427303336)3B=\begin{pmatrix} 7*3& 8*3\\ 9*3& 10*3\\ 11*3& 12*3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 21& 24\\ 27& 30\\ 33& 36\end{pmatrix}

矩阵与矩阵相加时,将两个矩阵内每个数字相加,即 2A+3B=2A+3B=

(2+216+244+278+3010+3312+36)=(313031384348)\begin{pmatrix} 2+21& 6+24\\ 4+27& 8+30\\ 10+33& 12+36\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 31& 30\\ 31& 38\\ 43& 48\end{pmatrix}

矩阵相乘

核心:前行乘后列

  1. 简单相乘

已知A=(132456),B=(789101112)A=\begin{pmatrix} 1& 3\\ 2& 4\\ 5& 6\end{pmatrix},B=\begin{pmatrix} 7& 8 & 9\\ 10 & 11& 12\end{pmatrix},求 ABA *B

AB=(132456)(789101112)A * B =\begin{pmatrix} 1& 3\\ 2& 4\\ 5& 6\end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 7& 8 & 9\\ 10 & 11& 12\end{pmatrix},该矩阵相乘结果的矩阵行列数,取决与AB的行列数,结果矩阵为 A 的行数,B 的列数其中,矩阵的r11A11B11+A12B21A_{11}* B_{11}+A_{12}*B_{21}r12A11B12+A12B22A_{11}* B_{12}+A_{12}*B_{22}……以此类推。即如下,计算后就是答案了。

=(17+31018+31119+31227+41028+41129+41257+61058+61159+612)=\begin{pmatrix} 1*7+3*10& 1*8+3*11 & 1*9+3*12\\ 2*7+4*10& 2*8+4*11 & 2*9+4*12\\ 5*7+6*10& 5*8+6*11 & 5*9+6*12\end{pmatrix}

  1. 化简后相乘

已知A=(101020101),B=(123456789)A=\begin{pmatrix} 1& 0 &1\\ 0& 2 & 0\\ 1& 0 & 1\end{pmatrix},B=\begin{pmatrix} 1& 2 & 3\\ 4 & 5& 6\\ 7& 8 &9 \end{pmatrix},求 A2B2ABA^{2}B-2AB

A2B2ABA^{2}B-2AB可将B提取,化简为(A22A)B(A^{2}-2A)*B,得到:(图片P3-5:28)

矩阵相乘的一些注意事项

  • A=(000000000)=0A=\begin{pmatrix} 0& 0 &0\\ 0& 0 & 0\\ 0& 0 & 0\end{pmatrix}=0 任何矩阵与零矩阵相乘都会成为零矩阵

  • (100010001)=E\begin{pmatrix} 1& 0 &0\\ 0& 1 & 0\\ 0& 0 & 1\end{pmatrix}=E 除了对角线全是1,其他都是 0(不论多少阶)。E矩阵的行列数取决于与它运算的式子的行列,它随所运算的式子的行列数而更改,并不是固定的一个行列数。任何矩阵与E相乘都不变,E自己相乘结果也是E。即AE=AA*E=AEA=AE * A =AE2=EE=EE^{2}=E * E =E

  • 矩阵相乘有顺序,先后不能颠倒,ABBA不一定相等。在化简时同样,A2B2AB=(A22AB)BA^{2}B-2AB=(A^{2}-2AB)*B是允许的,因为化简后B在后面。但A2B2AB=B(A22AB)A^{2}B-2AB=B*(A^{2}-2AB)则是不允许的。

  • 矩阵中没有出发,无法根据AX=AYAX=AY就推测出X=YX=Y

  • (AB)k(AB)^{k}AkBkA^{k}B^{k}不一定相等,无法展开。

  • A2+(k+j)AB+kjB2A^{2}+(k+j)AB+kjB^{2}(A+kB)(A+jB)(A+kB)(A+jB)不一定相等,无法展开(A 或 B有一项是E矩阵除外)。

  1. 计算矩阵对应行列式

已知A=(24646881014)A=\begin{pmatrix} 2& 4 &6\\ 4& 6 & 8\\ 8& 10 & 14\end{pmatrix},求$\left | A \right | $。将该矩阵的括号换成行列式的竖线,计算行列式取值即可。

公式:λA=λnλA\left | \lambda A \right |=\lambda^{n}\left | \lambda A \right |。如上矩阵,所有数字都是 2 的倍数,即可将 2 提出,

变为:A=2(123234457)A=2\begin{pmatrix} 1& 2 &3\\ 2& 3 & 4\\ 4& 5 & 7\end{pmatrix},即A=2n123234457\left | A \right | =2^{n}\begin{vmatrix} 1& 2& 3\\ 2& 3& 4\\ 4& 5& 7\end{vmatrix}

  1. 矩阵转置

已知A=(101)A=\begin{pmatrix} 1 & 0 &1\end{pmatrix},求ATAATA^{T}AA^{T}

补充说明:矩阵 A 右上角加上 T 后,就代表转置了。它的行变成列,列变成行,即AT=(101)A^{T}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\1 \end{pmatrix}

所以 ATAAT=(101)(101)(101)=(101000101)(101)=(202)A^{T}AA^{T}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\1 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 1 & 0 &1\end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1& 0 &1\\ 0& 0 &0 \\ 1& 0 & 1\end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\2 \end{pmatrix}

从上面看,从左到右相乘时,会展开一个3*3的矩阵,计算起来比较麻烦。可以先用后面的单行乘以单列,计算结果为单行同样为单行单列。而单行单列的矩阵,括号就可以去掉,矩阵内数字相加,变成一个系数。再用前面的矩阵与该系数相乘,达到简化计算的效果,如下:

ATAAT=(101)(101)(101)A^{T}AA^{T}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\1 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 1 & 0 &1\end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\1 \end{pmatrix}

(101)(101)=(1+0+1)=(2)=2\begin{pmatrix} 1 & 0 &1\end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\1 \end{pmatrix}=(1+0+1)=(2)=2

ATAAT=(101)2=(202)A^{T}AA^{T}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\1 \end{pmatrix}*2=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\2 \end{pmatrix}

其他公式:

  • (AB)T=BTAT(AB)^{T}=B^{T}A^{T}:两个矩阵相乘后再转置的结果,等于第二个矩阵的转置乘以第一个矩阵的转置
  • AT=A\left | A^{T} \right | =\left | A \right |: 一个矩阵转置的绝对值等于这个矩阵的绝对值。(绝对值指的是行列式)
  1. 证明矩阵可逆

可逆条件:

  1. 该矩阵为方阵,即行列数相等。
  2. A0\left | A \right | \ne 0 或者存在一个矩阵B,满足AB=EAB=E或者BA=EBA=E

方阵和计算矩阵的行列式比较简单,寻找矩阵B相对复杂,这里不做阐述。

  1. 求逆矩阵

计算方式:将矩阵(AE)(A\vdots E)进行1.换行; 2.某行乘一个数; 3. 一行加上或减去另一行乘数字 变成(EA1)(E\vdots A^{-1})

已知A=(123234457)A=\begin{pmatrix} 1 &2 &3 \\ 2 &3 &4 \\ 4 &5 &7\end{pmatrix},求A1A^{-1}

解答:需要在矩阵右边添加一个 单位矩阵E,经过一系列计算变换,将前半部分矩阵变成 E,并获取后半部分矩阵。

通过与 r1 、r2计算,使对角线左下方数字变为0;再通过与 r2 、r3计算,使对角线右上方数字变为0.

使得矩阵 (123100234010457001)\left(\begin{array}{lll|lll}1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\2 & 3 & 4 & 0 & 1 & 0 \\4 & 5 & 7 & 0 & 0 & 1\end{array}\right) 变换成 (100111010252001231)\left(\begin{array}{lll|lll}1 & 0& 0 & -1 & -1 & 1 \\0 & 1 & 0 & -2 & 5 & -2 \\0 & 0 & 1 & 2 & -3 & 1\end{array}\right),后半部分的矩阵就是A1A^{-1}

注意:

  • 对角线数字必须为1,否则无法计算后续。
  • 只能先将左下角数字变换为0,再将右上角数字变换为0,顺序不能乱。
  • 计算需严谨,一步错步步错
  1. 利用AA1=EA*A^{-1}=EA1A=EA^{-1}*A=E 计算

证明题:已知A=(123234457)A=\begin{pmatrix} 1 &2 &3 \\ 2 &3 &4 \\ 4 &5 &7\end{pmatrix}B=(1221)B=\begin{pmatrix} 1 &2 \\ 2 &1 \end{pmatrix}C=(142536)C=\begin{pmatrix} 1 &4 \\ 2 &5 \\ 3 &6 \end{pmatrix},求矩阵 X 使其满足AXB=CAXB=C

AA

解:

在等号两边同时乘以A1A^{-1},则A1AXB=A1CA^{-1}AXB=A^{-1}C,由于 A1A=EA^{-1}*A=E ,所以EXB=A1CEXB=A^{-1}C

由于EE乘以任何矩阵都等于矩阵本身,所以这里的EE可以消除:XB=A1CXB=A^{-1}C

在等号两边同时乘以B1B^{-1},则:XBB1=A1CB1XBB^{-1}=A^{-1}CB^{-1}

由于AA1=EA*A^{-1}=E ,同理BB1BB^{-1}可用EE来替代。即:XE=A1CB1XE=A^{-1}CB^{-1}

由于EE乘以任何矩阵都等于矩阵本身,所以这里的EE可以消除:X=A1CB1X=A^{-1}CB^{-1}

  1. 利用A·A*=|A|E 或 A*·A=|A|E计算

A*代表A的伴随矩阵

如果出现了A*,将公式套入即可

  1. 求矩阵的秩

已知(1234246845671269)\begin{pmatrix} 1 & 2& 3&4 \\ 2 & 4& 6&8 \\ 4 & 5& 6&7 \\ 1 & 2& 6&9\end{pmatrix},求R(A)R(A)

先对矩阵进行行变换,使下行左端的 0 比上航多,知道下面行全为 0 为止。

注意:

  • 必要条件:下一行左边的 0 必须比上一行多,相同多是不对的。
  • 如果倒数2行都为0,那么也是允许的。(即时 0 的数量相同)
  • 最后一行不全为 0 也没问题,只要保证必要条件即可

矩阵变换完成后,找出有几行是有非 0 数的,例如变换结果(1234246845670000)\begin{pmatrix} 1 & 2& 3&4 \\ 2 & 4& 6&8 \\ 4 & 5& 6&7 \\ 0 & 0& 0&0\end{pmatrix}有三行有非 0 数,那么R(A)=3R(A)=3

  1. 已知矩阵的秩,求矩阵里的未知数


线性代数闪电战
https://zhouyinglin.cn/post/239d1c33.html
作者
小周
发布于
2023年4月14日
更新于
2023年4月19日
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