行列式的概念及简单计算
行列式计算网站:https://matrix.reshish.com/zh/determinant.php
两行两列就是二阶行列式,以此类推还有n行n列式:∣∣∣∣∣1223∣∣∣∣∣,这里的行用r
表示,列用c
表示。
这些行列式经过一系列计算最后得到一个数字。对于如上的二阶行列式,计算方式就是:左斜对角线乘积-右斜对角线乘积。
则以1*3 - 2*2
,结果为-1
三阶、四节等多节行列数,需要将左斜对角线下方的数字全部变成0,再将做斜对角线所有数字相乘即可。如下3个都是计算行列式的方法:
- 某行(列)加上或减去另一行(列)的几倍,行列式不变。根据这一定义,逐个将左斜对角线。这里最后的变形是:∣∣∣∣∣∣∣1002−103−21∣∣∣∣∣∣∣
解题思路就是:第一行的作用是使后面行的首位变成0,第二行的作用是使后面行的第二位变为0,以此类推。
还有其他几条定义同样可以更快速地求出这个行列式的值。
- 某行(列)乘 k ,等于 k 乘此行列式。
例如 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣124823593471045812∣∣∣∣∣∣∣∣∣=1,将 r1 乘以 2 ,得到:∣∣∣∣∣∣∣∣∣224843596471085812∣∣∣∣∣∣∣∣∣
所以 r1 x 2 后新行列式的值为原值 x 2,
即:∣∣∣∣∣∣∣∣∣224843596471085812∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 2*(-1)=-2
这是单行乘以 k 后的计算方法,如果存在多行是原式的倍数,则新值为:所有倍数与原值相乘
- 互换两行(列),行列式变号
例如 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣124823593471045812∣∣∣∣∣∣∣∣∣=−1
将 r1 和 r2互换得到:∣∣∣∣∣∣∣∣∣214832594371054812∣∣∣∣∣∣∣∣∣
所以 r1 和 r2互换后新行列式的值为原值 x -1,即: −1∗(−1)=1。如果需要互换多次,则每次的新结果都是原值 x -1,也就是每次互换都将乘以 -1。
行列式运算过程可能产生较多的草稿,如果需要在纸面上简单地写明计算步骤,如下图:
行列式的计算及应用
- n 行 n 列的行列式,∣∣∣∣∣∣∣xaaaxaaax∣∣∣∣∣∣∣=(x−a)n−1[x+(n−1)a]
例如在 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣2333323333233332∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 中,x=2,a=3,n=4。结果为:∣∣∣∣∣∣∣∣∣2333323333233332∣∣∣∣∣∣∣∣∣=(2−34−1[2+(4−1)∗3])=−11
-
范德蒙行列式,即:∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1x1x12...x1n−11x2x22...x2n−1...............1xnxn2...xnn−1∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
=(xn−xn−1)(xn−xn−2)(xn−xn−3)....(xn−x1)
x (xn−1−xn−2)(xn−1−xn−3)...(xn−1−x1)
x …
x $ (x_2 - x_1)$
这种特殊行列式的规律是,r1 全部为 1 ,剩下部分指数以此增加。如c1中,从第二行开始是1次方,2次方、3次方……直到x1的n-1
在等号这行,都是 xn减去一个数,且该数规律性减少:xn−1,xn−2,xn−3,直到x1
第二行中,都是 xn−1减去一个数,被减数总是比减数小1,且同样规律性减少:xn−2,xn−3。直到x1
如此逐次计算,直到x2−x1
举例说明:∣∣∣∣∣∣∣∣∣133233144243155253166263∣∣∣∣∣∣∣∣∣符合公式观察得出:
x1=3,x2=4,x3=5,x4=6,n=4
则(6−5)(6−4)(6−3)(5−4)(5−3)(4−3)=12
例子二:运算过程如下(计算结果是有点问题的,但思路是对的)
- 行列式运算定义
- 两行(列)相同或成比例时,行列式结果为0
- 某行(列)为两项相加减时,行列式可拆成两个行列式相加减。
例如:∣∣∣∣∣∣∣∣∣12372448365948610∣∣∣∣∣∣∣∣∣中r1 和r2 成倍数,则该行列式结果为0.
第二个性质例如:∣∣∣∣∣∣∣∣∣12372+a4+b4+c8+d365948610∣∣∣∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣∣∣∣12372448365948610∣∣∣∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣∣∣∣1237ac483659bd610∣∣∣∣∣∣∣∣∣,注意,单行(列)存在相加减时,分为2个行列式,如果有多行(列)相加减,那么需要分别分开成2个行列式。
- 求余子式和代数余子式
例如:求∣∣∣∣∣∣∣15926103711∣∣∣∣∣∣∣中 a23的余子式。
余子式用M
表示。
a
是行列式中的某个数字,23
指的是行数与列数,所以a23
指的是2
行3
列的7
。
a23
的余子式也就是要求M23
,即将 r2 、c3删除,计算剩下的式子即可。
代数余子数用A表示,值为余子数 x -1 的行+列次方,即:A23=(−1)2+3∗M23
-
拉普拉斯展开(行列式展开定理),选择任意行(列)带入如下对应式子进行计算。
-
D=ai1Ai1+ai2Ai2+.....+ainAin (第i
行)
-
D=a1jA1j+a2jA2j+......+anjAnj (第j
列)
例如:∣∣∣∣∣∣∣15926103711∣∣∣∣∣∣∣ 取第一行,则 i
为 1,得出:
∣∣∣∣∣∣∣15926103711∣∣∣∣∣∣∣=a11A11+a12A12+a13A13。a11
、a12
、a13
代表行列所在数字,A11
代表代数余子数,A11=(−1)1+1M11
则:a11(−1)1+1M11+a12(−1)1+2M12+a13(−1)1+3M13
得到:1∗(−1)1+1∗∣∣∣∣∣610711∣∣∣∣∣+2∗(−1)1+2∗∣∣∣∣∣59711∣∣∣∣∣+3∗(−1)1+3∗∣∣∣∣∣59610∣∣∣∣∣
最后计算上述式子,就是行列式的值。(TODO)
通常用该方法计算出来的步骤很繁杂,但部分题目套进去会比较简单。如果行列式某一行(列)的0比较多,那通过这种办法能减少很多时间。
- 多个 A 或 M 相加减(零值定理)
已知D=∣∣∣∣∣∣∣∣∣15913261014371115481216∣∣∣∣∣∣∣∣∣,求:
1:3A11+4A12+5A13+6A14,在原式找到A11等位置,然后将前面的系数替换进去,计算新式子的结果:∣∣∣∣∣∣∣∣∣35913461014571115681216∣∣∣∣∣∣∣∣∣
2:3A11+4A21+5A31+6A41,在原式找到A11等位置,然后将前面的系数替换进去,计算新式子的结果:∣∣∣∣∣∣∣∣∣3456261014371115481216∣∣∣∣∣∣∣∣∣
3:3M11+4M12+5M13+6M14,需要先将M
替换成A
,已知Arc=(−1)r+cMrc,则该式子转换为:
3(−1)1+1M11+4(−1)2+1M11+5(−1)3+1M31+6(−1)4+1M41
得出:3A11−4A21+5A31−6A41,到这一步就跟上2种一样,将系数替换进原式,,计算该新式子的结果:∣∣∣∣∣∣∣∣∣3−45−6261014371115481216∣∣∣∣∣∣∣∣∣
- 判断方程组的解的情况
可根据计算参考该表格获取解的情况。
方程组 |
D != 0 |
D = 0 |
齐次 |
只有一组零解 |
有零解与非零解 |
非齐次 |
只有一组非零解 |
有多个解或无解 |
判断该方程组是否有唯一解:⎩⎪⎨⎪⎧x1+2x2+3x3=04x1+5x2+6x3=07x1+8x2+9x3=0
表格解释:齐次指方程组只有x
与0
,没有常数项。非齐次除了x
与0
还有常数项。(TODO:没有明白)
D!=0
和D=0
的依据是,将方程组的系数取出,形成一个新的行列式,计算该行列式的值。注意,如果有的题目没有完整的等长等宽方程组,例如:⎩⎪⎨⎪⎧x1+3x3=0x2+4x3=0x1+5x3=0 ,就需要手动补0,即:⎩⎪⎨⎪⎧x1+0x2+3x3=00x1+x2+4x3=0x1+5x2+0x3=0,形成的行列式为:∣∣∣∣∣∣∣101015340∣∣∣∣∣∣∣
例如上述例题,是一个齐次方程,将其系数提取形成行列式,得到∣∣∣∣∣∣∣147258369∣∣∣∣∣∣∣,值为 0,即有零解与非零解,就是没有唯一解。
例题2:
方程组:⎩⎪⎨⎪⎧x1+yx2+3x3=04x1+5x2+6x3=07x1+8x2+9x3=0 有非零解,请确定 y
的值。
解答:观察方程式,为齐次方程组。且有非零解,那么D=0
,则:∣∣∣∣∣∣∣147y58369∣∣∣∣∣∣∣=0,即可求出y=2
矩阵计算
矩阵相加减
已知A=⎝⎛125346⎠⎞,B=⎝⎛791181012⎠⎞,求 2A+3B
矩阵与系数相乘时,将系数与矩阵的每个数字相乘,即:
2A=⎝⎛1∗22∗25∗23∗24∗26∗2⎠⎞=⎝⎛24106812⎠⎞
3B=⎝⎛7∗39∗311∗38∗310∗312∗3⎠⎞=⎝⎛212733243036⎠⎞
矩阵与矩阵相加时,将两个矩阵内每个数字相加,即 2A+3B=:
⎝⎛2+214+2710+336+248+3012+36⎠⎞=⎝⎛313143303848⎠⎞
矩阵相乘
核心:前行乘后列
- 简单相乘
已知A=⎝⎛125346⎠⎞,B=(710811912),求 A∗B:
A∗B=⎝⎛125346⎠⎞∗(710811912),该矩阵相乘结果的矩阵行列数,取决与A
与B
的行列数,结果矩阵为 A 的行数,B 的列数其中,矩阵的r11
为A11∗B11+A12∗B21,r12
为A11∗B12+A12∗B22……以此类推。即如下,计算后就是答案了。
=⎝⎛1∗7+3∗102∗7+4∗105∗7+6∗101∗8+3∗112∗8+4∗115∗8+6∗111∗9+3∗122∗9+4∗125∗9+6∗12⎠⎞
- 化简后相乘
已知A=⎝⎛101020101⎠⎞,B=⎝⎛147258369⎠⎞,求 A2B−2AB:
A2B−2AB可将B
提取,化简为(A2−2A)∗B,得到:(图片P3-5:28)
矩阵相乘的一些注意事项
-
A=⎝⎛000000000⎠⎞=0 任何矩阵与零矩阵相乘都会成为零矩阵
-
⎝⎛100010001⎠⎞=E 除了对角线全是1,其他都是 0(不论多少阶)。E
矩阵的行列数取决于与它运算的式子的行列,它随所运算的式子的行列数而更改,并不是固定的一个行列数。任何矩阵与E
相乘都不变,E
自己相乘结果也是E
。即A∗E=A,E∗A=A,E2=E∗E=E。
-
矩阵相乘有顺序,先后不能颠倒,AB
与BA
不一定相等。在化简时同样,A2B−2AB=(A2−2AB)∗B是允许的,因为化简后B
在后面。但A2B−2AB=B∗(A2−2AB)则是不允许的。
-
矩阵中没有出发,无法根据AX=AY就推测出X=Y
-
(AB)k与AkBk不一定相等,无法展开。
-
A2+(k+j)AB+kjB2与(A+kB)(A+jB)不一定相等,无法展开(A 或 B有一项是E矩阵除外)。
- 计算矩阵对应行列式
已知A=⎝⎛24846106814⎠⎞,求$\left | A \right | $。将该矩阵的括号换成行列式的竖线,计算行列式取值即可。
公式:∣λA∣=λn∣λA∣。如上矩阵,所有数字都是 2 的倍数,即可将 2 提出,
变为:A=2⎝⎛124235347⎠⎞,即∣A∣=2n∣∣∣∣∣∣∣124235347∣∣∣∣∣∣∣
- 矩阵转置
已知A=(101),求ATAAT。
补充说明:矩阵 A 右上角加上 T 后,就代表转置了。它的行变成列,列变成行,即AT=⎝⎛101⎠⎞
所以 ATAAT=⎝⎛101⎠⎞∗(101)∗⎝⎛101⎠⎞=⎝⎛101000101⎠⎞∗⎝⎛101⎠⎞=⎝⎛202⎠⎞
从上面看,从左到右相乘时,会展开一个3*3的矩阵,计算起来比较麻烦。可以先用后面的单行乘以单列,计算结果为单行同样为单行单列。而单行单列的矩阵,括号就可以去掉,矩阵内数字相加,变成一个系数。再用前面的矩阵与该系数相乘,达到简化计算的效果,如下:
ATAAT=⎝⎛101⎠⎞∗(101)∗⎝⎛101⎠⎞
(101)∗⎝⎛101⎠⎞=(1+0+1)=(2)=2
ATAAT=⎝⎛101⎠⎞∗2=⎝⎛202⎠⎞
其他公式:
- (AB)T=BTAT:两个矩阵相乘后再转置的结果,等于第二个矩阵的转置乘以第一个矩阵的转置
- ∣∣∣AT∣∣∣=∣A∣: 一个矩阵转置的绝对值等于这个矩阵的绝对值。(绝对值指的是行列式)
- 证明矩阵可逆
可逆条件:
- 该矩阵为方阵,即行列数相等。
- ∣A∣=0 或者存在一个矩阵B,满足AB=E或者BA=E
方阵和计算矩阵的行列式比较简单,寻找矩阵B相对复杂,这里不做阐述。
- 求逆矩阵
计算方式:将矩阵(A⋮E)进行1.换行; 2.某行乘一个数; 3. 一行加上或减去另一行乘数字 变成(E⋮A−1)
已知A=⎝⎛124235347⎠⎞,求A−1
解答:需要在矩阵右边添加一个 单位矩阵E
,经过一系列计算变换,将前半部分矩阵变成 E
,并获取后半部分矩阵。
通过与 r1 、r2计算,使对角线左下方数字变为0;再通过与 r2 、r3计算,使对角线右上方数字变为0.
使得矩阵 ⎝⎛124235347100010001⎠⎞ 变换成 ⎝⎛100010001−1−22−15−31−21⎠⎞,后半部分的矩阵就是A−1
注意:
- 对角线数字必须为1,否则无法计算后续。
- 只能先将左下角数字变换为0,再将右上角数字变换为0,顺序不能乱。
- 计算需严谨,一步错步步错
- 利用A∗A−1=E 或 A−1∗A=E 计算
证明题:已知A=⎝⎛124235347⎠⎞、B=(1221)、C=⎝⎛123456⎠⎞,求矩阵 X 使其满足AXB=C
A
解:
在等号两边同时乘以A−1,则A−1AXB=A−1C,由于 A−1∗A=E ,所以EXB=A−1C
由于E乘以任何矩阵都等于矩阵本身,所以这里的E可以消除:XB=A−1C
在等号两边同时乘以B−1,则:XBB−1=A−1CB−1
由于A∗A−1=E ,同理BB−1可用E来替代。即:XE=A−1CB−1
由于E乘以任何矩阵都等于矩阵本身,所以这里的E可以消除:X=A−1CB−1
- 利用
A·A*=|A|E 或 A*·A=|A|E
计算
A*
代表A的伴随矩阵
如果出现了A*
,将公式套入即可
- 求矩阵的秩
已知⎝⎜⎜⎜⎛1241245236664879⎠⎟⎟⎟⎞,求R(A)
先对矩阵进行行变换,使下行左端的 0 比上航多,知道下面行全为 0 为止。
注意:
- 必要条件:下一行左边的 0 必须比上一行多,相同多是不对的。
- 如果倒数2行都为0,那么也是允许的。(即时 0 的数量相同)
- 最后一行不全为 0 也没问题,只要保证必要条件即可
矩阵变换完成后,找出有几行是有非 0 数的,例如变换结果⎝⎜⎜⎜⎛1240245036604870⎠⎟⎟⎟⎞有三行有非 0 数,那么R(A)=3
- 已知矩阵的秩,求矩阵里的未知数
略